Domínio, Contradomínio e Imagem

5. Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

Em uma função f : A→ B o domínio desta função é o conjunto A e o contradomínio é o conjunto B.  A imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos estão associados ao domínio. Genericamente denotamos os pares ordenados de f por (x,y) onde x ∈ A e y ∈ B, e escrevemos   y = f(x) (lê-se: f de x é igual a y). Dizemos que y é a imagem de x sob a função f. Dizemos também que x é a variável independente e y é a variável dependente.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3; 4} e B = {2; 3; 4; 5; 6; 8}. Vamos considerar uma função f : A→ B definida por y = 2x  ou f(x) = 2x.  Obseravando o diagrama da função temos:

Domínio: D(f) = {1; 2; 3; 4};

Contradomínio: CD(f) = {2; 3; 4; 5; 6; 8};

Imagem: Im(f) = {2; 4; 6; 8};

Obs: f(1) = 2 (lê-se: f de 1 é igual a 2);

         f(2) = 4;  f(3) = 6 e f(4) = 8.


5.1 Estudo do domínio de uma função.

Quando definimos uma função, o domínio D(f) poderá ser apresentado de forma explícita ou implícita. Observer os seguintes exemplos:

1) Se for apresentada somente a função f(x) = 3x -1, sem explicitar o domínio D(f) está implícito que x poderá assumir o valor de qualquer número real, ou seja, D(f) = R.

2) Se for apresentada a função f(x) = 3x -1, com  1<x<10, está implícito que o domínio da função D(f) é dado por:  D(f) = {x∈ R | 1<x<10}

3) Considere a seguinte função:

    Se a função for apresentada sem explicitar o domínio está implícito que x poderar assumir o valor de qualquer número real, exceto 3 (pois x-3 ≠ 0). Deste modo:

D(f) = {x∈ R | x ≠ 3}

4) Se for apresentada somente a função:

 Está implicito que x -3≥ 0 (condição de existênica da raiz quadrada considerando-se o conjunto dos números reais), ou seja x ≥3. Desse modo: 

D(f) = {x∈ R | x ≥ 3}

Exercício

1) Seja uma função f : A→ B é definida pelo diagrama a seguir:

a) Qual é o domínio de f?

b) Qual é o contradomínio de f?

c) Qual é a conjunto-imagem de f?


Respostas:

a)  D(f) = A = {-1; 0; 1; 2; 3}.

b) CD(f) = B = {0; 1; 2; 3; 4}.

c) Im(f) = {1; 2; 3; 4}