Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora

6. Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora

6.1 Função Sobrejetora.

Seja uma função f: A→B. A função f será sobrejetora, se e somente se, para todo elemento b∈B existir um elemento a∈A tal que f(a) = b, ou seja se o contradomínio CD(f) for igual a imagem Im(f) temos que a função f é sobrejetora. No diagrama de Venn todo elemento de B recebe seta. Simbolicamente temos:

                                  ∀b∈B, ∃a∈A | f(a) = b

 

f é sobrejetora ⇔ CD(f) = Im(f)

Exemplos

1)
                                                               A                                 B

A função é sobrejetora pois f(1) = f(2) = 2 e f(3) =4 ou seja, para qualquer elemento em B existe um elemento em A tal que f(a) = b

2)                                                           A                                 B

A função é sobrejetora pois f(1) = 2;  f(2) = 4 e f(3) =4 ou seja, para qualquer elemento em B existe um elemento em A tal que f(a) = b

3)                                                            A                                  B

A função não é sobrejetora pois para o elemento  6 pertencente ao conjunto B não existe um elemento em A tal que f(a) = 6. Também podemos afirmar que o contradomínio CD(f) = {2; 4; 6} é diferente da imagem Im(f) = {2; 4}.

6.2 Função Injetora.

Seja uma função f: A→B. A função f será injetora, sempre que quando houver dois elementos a1 e a2 quaisquer, pertencentes ao conjunto A, sendo que a≠b tivermos f(a1)≠f(a2). Em outras palavras, f será injetora se quaisquer elementos diferentes pertencentes ao conjunto A tiverem imagens diferentes no conjunto B. No diagrama de Venn não existe elemento em B que receba mais de uma seta. Simbolicamente temos:

                ∀ a1, a2∈A, (a1 ≠ a2) f é injetora ⇔ f(a1) ≠ f(a2)

Exemplos

1)                                                           A                                 B

A função é injetora pois 1 ≠ 2 ≠ 3 e f(1) = 2 ≠  f(2) = 4 ≠ f(3) =4.



 2)                                                          A                                 B

A função não é injetora pois f(2) = f(3) = 4.


6.3 Função Bijetora.


Seja uma função f: A→B. A função f será bijetora, se e somente se, f for injetora e sobrejetora. Todo elemento pertencente ao conjuto B está associado a um único elemento de A.

Exemplo:

1)                                                           A                                 B

A função é bijetora pois ela é injetora e sobrejetora (vide exemplos anteriores).