Função - Definições

1. Par Ordenado (x, y)

Conjunto formado por dois elementos, onde a ordem importa, e os elementos são representados entre parênteses.

O par ordenado pode ser representado num sistema cartesiano ortogonal, onde:

x - Eixo das abscissas e

y - Eixo das ordenadas

Este sistema é utilizado para representar um ponto P(a, b) no plano.

 

2. Produto Cartesiano (A x B)

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado A x B (lê-se: A cartesiano B) é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) onde o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B. Simbolicamente temos:

A x B ={(a,b) | ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B}

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {1; 3; 4} e B = {2; 3} temos:

AxB = {(1,2); (1,3); (3,2); (3;3); (4,2); (4,3)};

BxA = {(2,1); (2,3); (2,4); (3,1); (3,3); (3,4)};

AxA = A² = {(1,1); (1,3); (1,4); (3,1); (3,3); (3,4); (4,1); (4,3); (4,4)};

BxB = B² = {(2,2); (2,3); (3,2); (3,3)}

Observe que AxB ≠ BxA pois a ordem dos elementos dos pares ordenados importa.

3. Relação

Dados os conjuntos A e B, define-se uma relação R de A em B, denotada R: A→ B (lê-se: R de A em B), qualquer subconjunto de AxB que obedeça uma lei de formação.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = { 1; 2; 3; 4} e B = {2; 4; 6; 8} a relação R: A → B, tal que: R ={(a,b) | b = 2a} é dada pelos seguintes pares ordenados: R = {(1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}.

Uma relação também pode ser representada através do diagrama de Venn (vide Figura 1).

Figura 1: Representação de uma Relação por diagrama de Venn.

4.  Função - Definição

Dados os conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B,  denotada f: A → B (lê-se: f de A em B) é qualquer relação que associa a todo elemento de A um único elemento de B.

Observe os diagramas de Venn e os comentários das figuras 2, 3, 4, 5 e 6.

Figura 2: É função pois todos os elementos do conjunto A possuem um único correspondente em B.

Figura 3: É função pois todos os elementos do conjunto A possuem um único correspondente em B.

Figura 4: É função pois todos os elementos do conjunto A possuem um único correspondente em B.

Figura 5: Não é função pois o elemento 4 do conjunto A  não possui correspondente em B.

Figura 6: Não é função pois o elemento 1 do conjunto A  possui 2 correspondentes no conjunto B.

Funções definidas por leis associativas

O conceito de função é uma importante ferramente que os matemáticos utilizam para interpretar diversas relações existentes entre as variáveis que ocorrem em fenômenos físicos, biológicos, na economia, etc. Desse modo, é muito comum que ao analisarmos um determinado fenômeno, considerá-lo representá-lo por uma lei que relaciona as variáveis envolvidas, 

Se tomarmos por exemplo, o consumo de água de uma residencia, podemos observar que ele varia em função do número de moradores da casa. Observe o diagrama abaixo:

No conjunto A encontra-se o número de moradores da residência e no conjunto B aparece o consumo de água em litros por dia. A sentença f(1) = 40 indica que se habitar na residência apenas um morador teremos que o consumo de água por dia será de 40 litros.

Ainda considerando este exemplo, se chamarmos de x o número de moradores e de y o consumo de água, podemos escrever que y = f(x). Neste exemplo, a lei que relaciona o consumo de água y e o número de moradores de uma residência é dada por:

f(x) = 40.x

Por meio desta lei associativa podemos calcular o consumo de água para qualquer número de moradores. Por exemplo, se quisermos determinar o consumo de água para uma residência com 5 moradores bastará substituir x por 5 na função f(x). Deste modo, teremos:

f(5) = 40.5 = 200

A partir desta lei associativa, descobrimos que o consumo de uma residência habitada por 5 moradores será de 200 litros por dia.

De forma genérica, uma função f: A → B pode ser representada por uma lei do tipo y = f(x), que estabelece o critério de obtenção dos pares ordenados (x,y) ∈ AxB.

Dados, por exemplo: A = {0; 1; 2}, B = {0; 1; 2; 3; 4} e f: A → B definida por f = {(x,y)∈ AxB | y = 2.x} para obtermos os pares de f e seu diagrama basta atribuirmos os valores 0, 1, 2 à variável x em f(x) = 2.x para obtermos os valores de y:

x =0 ⇒ f(0) = 2.0 = 0 ⇒ y =0;

x = 1 ⇒ f(1) = 2.1 = 2 ⇒ y = 2;

x = 2⇒ f(2) = 2.2 = 4 ⇒ y = 4.

Assim, f = {(0,0); (1,2); (2,4)} e seu diagrama está representado na figura abaixo: