Função Inversa

9. Função Inversa

Seja uma função f: A→B de modo que f seja uma função bijetora, ou seja, para ∀ y ∈ B, existe um único valor x ∈A tal que y = f(x). Assim podemos definir uma função g: B →A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada de função inversa de f, e é denotada por 


Propriedades das funções inversas.

i) Uma função f: A→B é inversível se, e somente se, f for uma função bijetora.

ii) Se f: A→B é uma função bijetora então o domínio e o contra-domínio de f são respectivamente o contra-domínio e o domínio de

iii) Os gráficos de f e  são curvas simétricas com relação a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, em relação a reta y = x.


Exemplo:

1) Determine a função inversa de f(x) = 2x +2

Resolução: Temos que mostrar que f(x) é bijetora.

1° passo: mostrar que a função é sobrejetora: Para ∀ y ∈ R ∃ x ∈ R tal que f(x) = y.  Exemplo para y = 4 temos x = 1 de modo que f(1) = 4. Deste modo f é sobrejetora.

2° passo: mostrar que a função é injetora: Para ∀ x1 e x2 ∈ R com x1 ≠ x2  temos f(x1 )≠ f(x2 ). Exemplo: para x = 1 e x = -1 temos: f(1) = 4 ≠ f(-1) = 0. Deste modo f é injetora.

Portanto f(x) é bijetora porque é função é injetora e sobrejetora simultaneamente.

Para determinar a função inversa de f(x)=y basta trocar o x pelo y. Observe abaixo:

Inicialmente temos: y = 2x+2 trocando o x pelo y teremos:

                                   x = 2y+2. Isolando o termo y temos:

                                   2y = x - 2 Deste modo:

                                     y = x/2 - 1

Portanto: (x) = x/2 -1

  2) Construa o gráfico da função f(x) = 2x +2 e o de sua função inversa.

  Resolução: Observe que os gráficos de f e são curvas simétricas com relação a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, em relação a reta y = x.