Função do Segundo Grau

Função do Segundo Grau

Definição: Sejam a, b e c números reais com a ≠ 0. Chamamos de função do segundo grau ou função quadrática a função f: R → R que para cada x ∈ R tem-se f(x) = ax²+bx+c. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola.

 

Exemplo: f(x) = x²-5x+6.

 

 

 

 

Pontos importantes que se devem observar em uma função do segundo grau:

 

i) Concavidade: No gráfico da parábola: f(x) = ax²+bx+c, observe o valor do número a.

Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. ("a parábola está feliz").

Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo. ("a parábola está triste").

Obs: No exemplo: f(x) = x²-5x+6. Identificamos que a = 1 e, como a>0, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima. (vide o gráfico anterior).   

ii) Raízes ou Zeros: São os valores de x para os quais f(x) = ax²+bx+c = 0, ou seja os zeros são os pontos da abscissas onde o gráfico da parábola intercepta o eixo x. Para encontrarmos as ráizes ou zeros da função devemos resolver a seguinte equação: ax² + bx + c = 0. Uma das formas de se resolver esta equação é utilizando-se a fórmula de Baskara:

 

Definimos o discriminante delta da seguinte forma:

 

∆ = b² - 4.a.c

 

Deste modo, podemos escrever a fórmula de Baskara da seguinte forma:

 

 

É importante analisarmos o discriminante delta:

 

i) Se ∆>0 temos duas raízes reais e distintas. 

ii) Se ∆ = 0 temos uma única raíz real.

iii) Se ∆ < 0 não existem raízes reais ou seja a parábola não irá interceptar o eixo x .

 

Dependendo do valor de ∆ e do sinal de a teremos os seguintes gráficos:

 

  

 

 

 

iii) Vértice da Parábola

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

 

iv) Ponto onde a parábola intersepta o eixo y.

 

Para determinar o ponto onde a parábola irá interseptar o eixo y numa função f(x) = ax²+bx+c fazemos x = 0 e este ponto corresponde ao número c desta função.

 

Exemplo: na função: f(x) = x² -5x + 6, quando x =0 temos f(0) = 6.

Deste modo, observando o gráfico abaixo temo que o ponto onde a parábola intersepta o eixo y é o ponto (0,6).

 

 



 

Resumo

 

Para desenharmos o gráfico de uma parábola quando é dada uma função f(x) = ax²+bx+c é necessário:

 

i) Analisar a concavidade da função.

ii) Determinar as raízes ou zeros da função.

iii) Determinar o vértice da função.

iv) Determinar o ponto onde a parábola intersepta o eixo y.

 

 



 

 

Exercícios

1) Encontre os zeros das funções:

a) f(x) = x² + 2x +1

b) f(x) = x² - 5x +6

c) f(x) = -x² + 2x +4

d) f(x) = x² + 3x -4

2) Determine as coordenadas dos vértices das funções:

a) f(x) = x² + 2x +1

b) f(x) = x² - 5x +6

c) f(x) = -x² + 2x +4

d) f(x) = x² + 3x -4

 

3) Desenhe os gráficos das funções:

a) f(x) = x² + 2x +1

b) f(x) = x² - 5x +6

c) f(x) = -x² + 2x +4

d) f(x) = x² + 3x -4