1. Convenções
Para o desenvolvimento da Teoria de Conjuntos serão utilizadas as seguintes convenções:
i) Os conjuntos serão indicados pelas letras maiúsculas do alfabeto (Exemplo: A, B, C, ...)
ii) Os elementos de um conjunto serão indicados por letras minúsculas do alfabeto (Ex.: a, b, c, ...)
1.1. Notações de Conjuntos
a) Representação Tabular: Essa notação apresenta os elementos dos conjuntos separados por vírgulas e entre chaves.
Exemplos:
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 3, 5, ...}
C = {0, 2, 4, 6, ...}
D = {verde, amarelo, azul, preto}
b) Representação descrevendo a propriedade dos elementos
Um conjunto pode ser representado por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Se chamarmos de alfa uma certa propriedade dos elementos x de um conjunto A teremos:
A = { x | x possui a propriedade alfa}
Lê-se: "A é o conjunto dos elementos x tal que x possui a propriedade alfa"
Exemplos:
A = { x | x é vogal};
B = { y | y é par};
C = { z | z é um carro};
D = { j | j é uma cidade do estado de São Paulo}
c) Representação Gráfica
1.2 Conjuntos Unitários e Conjuntos Vazios
Conjuntos unitários são os conjuntos que possuem apenas um elemento. Exemplo: O conjunto dos números inteiros maiores do que 5 e menores do que 7; conjunto dos meses entre janeiro e março, etc. Já os Conjuntos Vazios são os conjuntos que não possuem nenhum elemento associado a eles. Exemplo: Conjunto dos números pares maiores do que 2 que sejam números primos; conjunto dos meses do ano com mais de 31 dias, etc. O conjunto vazio é representado pelo símbolo ∅ e é escrito por extensão utilizando-se duas chaves sem elementos em seu interior { }.
1.3 Relação de Inclusão
Um conjunto A é um sub-conjunto de B, ou A está contido em B, se e somente se todo elemento de A é também elemento de B ou seja:
A⊂B ⇔ (∀x)(x∊A⇒
x∊B)
Lê-se: "A está contido em B se e somente se para qualquer que seja x, se x pertence a A isso implica que x pertence a B".
Exemplo:
A = {2, 6, 10};
B = {2, 4, 6, 8, 10}
Como todo elemento pertencente ao conjunto A também pertence ao conjunto B, Dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, ou seja:
A ⊂ B (Lê-se: A está contido em B)
B ⊃ A (Lê-se: B contém A)
Mas, se existir pelo menos um elemento que pertença ao conjunto A e que não pertença ao conjunto B dizemos que A não está contido em B e que A não é subconjunto de B, ou seja:
(∃x | x ∈ A e x ∉ B) ⇒ A ⊄B
Lê-se: Existe x tal que x pertence a A e x não pertence a B. Isso implica que o conjunto A não está contido no conjunto B.
Exemplo:
A = {a, b, f}
B = {a, b, c, d, e}
Como f ∈
A e f ∉ B ⇒ A ⊄B
Observações importantes:
i) Todo conjunto é subconjunto de si próprio, ou seja:
(∀A) (A ⊂ A)
(∀A) (∅ ⊂ A)
Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto formado por todos os subconjuntos de E.
O conjunto das partes de um conjunto E é representado pelo símbolo P(E). Por exemplo:
Se E = {1; 2; 3} então:
P(E) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1;2}, {1;3}, {2;3}, {1; 2,;3}}
Observe que os elementos de P(E) são todos conjuntos. Desse modo, com relação ao conjunto das partes é preciso sempre bastante atenção quando ao emprego dos símbolos ∈ e ⊂.
Exemplo:
{1;2} ∈ P(E) pois {1;2} é um elemento do conjunto das partes P(E)
{{1;2}} ⊂ P(E).
Se chamarmos de n(E) o número de elementos de um conjunto E é possível verificar que o conjunto das partes de E terá sempre 2n(E) elementos.
No exemplo anterior observe que o conjunto E = {1; 2; 3} tem n(E)=3. Desse modo, o conjunto P(E) terá 23= 8 elementos. Isso equivale a dizer que E possui 8 subconjuntos.
De modo geral, podemos dizer que se um conjunto A possui k elementos então ele terá 2k
n(A) = k ⇒
n(P(A)) = 2k
Exercício
Quantos subconjuntos possui cada conjunto a seguir:
a) A = {0; 1; 2; 3}
b) B = {0; 1}
c) C = ∅
d) D = {x | x é impar e 1< x < 11}
Respostas
a) 16
b) 4
c) 1
d) 16
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